Claim Decision Model — Settlement Ratio Gap

Bagian 01 · Fungsi Keputusan

Dua Cara Menghitung Settlement Ratio

Dalam praktik klaim, insurer mempublikasikan satu angka: berapa persen klaim yang dibayar. Tapi ada dua definisi yang berbeda, dan keduanya memberikan gambaran yang berbeda tentang perilaku insurer.

Coba arahkan kursor ke teks tebal di bawah ini →

Definisi pertama, SR berbasis jumlah klaim (SR_count), menghitung rata-rata probabilitas pembayaran yang dibobot secara seragam. Klaim kecil dan klaim besar dihitung sama. Formula: \(\displaystyle\int p(x)\cdot f(x)\,dx\)

Definisi kedua, SR berbasis nilai klaim (SR_amount), memberikan bobot lebih besar pada klaim yang lebih besar. Formula: \(\dfrac{\mathbb{E}[X \cdot p(X)]}{\mathbb{E}[X]}\). Ini adalah metrik yang lebih relevan untuk pemegang polis dengan sum assured besar.

Perbedaan antara keduanya — yang disebut settlement ratio gap — bukan sekadar statistik. Gap ini mencerminkan struktur keputusan klaim itu sendiri.

Temuan utama: Dari 117 observasi insurer-tahun IRDAI, 115 (98.3%) menunjukkan gap negatif. p-value = 8.31×10⁻³². Ini bukan kebetulan statistik.

Integrands: p(x)·f(x) vs x·p(x)·f(x)/E[X]

SR_count integrand SR_amount integrand

SR_count

–

SR_amount

–

Gap = SR_amount − SR_count

–

Bagian 01b · Model Logistik

Fungsi Keputusan p(x)

Bagaimana insurer memutuskan apakah suatu klaim dibayar? Realitanya, ada investigation threshold: klaim kecil diproses hampir otomatis; klaim yang melebihi threshold memicu fraud screening atau underwriting ulang.

Model yang paling realistis adalah fungsi logistik: klaim bernilai rendah hampir pasti dibayar (probabilitas mendekati 1), sedangkan klaim bernilai tinggi mengalami lebih banyak penolakan (probabilitas mendekati 0).

\[p(x) = \dfrac{1}{1 + e^{\,\beta\,(x - c)}}\]

Parameter β yang tinggi berarti transisi dari "hampir pasti dibayar" ke "sering diselidiki" sangat tajam — seperti tembok. β yang rendah berarti transisinya gradual.

Kunci matematisnya: turunan \(p'(x)\) selalu negatif untuk \(\beta > 0\). Ini berarti \(X\) dan \(p(X)\) selalu bergerak berlawanan arah, sehingga \(\operatorname{Cov}(X, p(X)) < 0\), dan gap pasti negatif.

Konsekuensi: Selama insurer menginvestigasi klaim besar lebih ketat dari klaim kecil — kondisi yang realistis secara operasional — gap negatif adalah matematika, bukan kebijakan.

Fungsi p(x) — probabilitas pembayaran vs nilai klaim

p(x) p'(x) slope

Geser untuk eksplorasi:

β = 2.5

c/μ = 1.0

Bagian 02 · Derivasi Formal

\(\text{Gap} = \operatorname{Cov}(X,\,p(X))\,/\,\mathbb{E}[X]\)

Persamaan di atas bukan aproksimasi — ini adalah identitas eksak yang berlaku untuk sembarang distribusi severity dan sembarang fungsi keputusan. Derivasinya hanya membutuhkan satu identitas kovarians.

Derivasi Langkah demi Langkah

Definisi \(\SR_{\text{amount}}\): rata-rata tertimbang oleh nilai klaim

\[\SR_{\text{amount}} = \dfrac{\mathbb{E}[X \cdot p(X)]}{\mathbb{E}[X]}\]

Gunakan identitas: \(\mathbb{E}[XY] = \operatorname{Cov}(X,Y) + \mathbb{E}[X]\cdot\mathbb{E}[Y]\)

\[\mathbb{E}[X \cdot p(X)] = \operatorname{Cov}(X,p(X)) + \mathbb{E}[X]\cdot\mathbb{E}[p(X)]\]

Berlaku untuk sembarang dua variabel acak

Substitusi ke \(\SR_{\text{amount}}\) dan sederhanakan

\[\SR_{\text{amount}} = \dfrac{\operatorname{Cov}(X,p(X))}{\mathbb{E}[X]} + \mathbb{E}[p(X)]\]

Perhatikan: \(\mathbb{E}[p(X)] = \SR_{\text{count}}\) (definisi)

Gap \(= \SR_{\text{amount}} - \SR_{\text{count}}\) → suku \(\SR_{\text{count}}\) saling menghilangkan

\[\text{Gap} = \dfrac{\operatorname{Cov}(X,\,p(X))}{\mathbb{E}[X]}\]

\[\text{Gap} = \dfrac{\operatorname{Cov}\!\left(X,\,p(X)\right)}{\mathbb{E}[X]} \quad \blacksquare\]

Identitas ini berlaku untuk sembarang distribusi severity F(x) dan sembarang fungsi keputusan p(x).
Tidak bergantung pada lognormal, Pareto, atau asumsi distribusi lainnya.

Aproksimasi Taylor — Besarnya Gap

Dengan ekspansi pertama di sekitar \(\mu = \mathbb{E}[X]\), gap dapat diperkirakan sebagai:

\[\text{Gap} \approx -\dfrac{\beta}{4} \cdot \mathrm{CV}^2 \cdot \mathbb{E}[X]\]

Tiga faktor penentu besarnya gap:

Faktor	Efek pada \|Gap\|	Intuisi
\(\beta\) — sensitivitas investigasi	↑ memperbesar	Makin agresif investigasi klaim besar
\(\mathrm{CV} = \sigma(X)/\mathbb{E}[X]\)	↑ memperbesar	Distribusi klaim lebih heavy-tail
\(\mathbb{E}[X]\) — rata-rata klaim	Normalisasi (pembagi)	Klaim kecil → gap lebih besar dalam %

Bagian 03 · Interaktif

Eksplorasi Fungsi p(x)

Atur parameter β dan c untuk melihat bagaimana bentuk fungsi keputusan berubah — dan bagaimana perubahan itu memengaruhi gap antara kedua settlement ratio secara numerik (integrasi midpoint rule, distribusi lognormal).

β (sensitivitas investigasi): 2.5 β rendah = transisi mulus · β tinggi = batas tajam

c/μ (threshold relatif terhadap mean): 1.0 c=1.0 artinya threshold tepat di rata-rata klaim

SR Count –

SR Amount –

Gap (exact) –

Gap (Taylor) –

Fungsi p(x)

Integrands

Bagian 04 · Data IRDAI

Implied β per Insurer

Dari aproksimasi Taylor: \(\hat{\beta} = \dfrac{4\,|\text{Gap}|}{\mathrm{CV}^2 \cdot \mathbb{E}[X]}\) dengan asumsi \(\mathrm{CV} = 1.5\).

Ini adalah estimasi ceteris paribus — jika CV sama untuk semua insurer, perbedaan \(\hat{\beta}\) mencerminkan perbedaan intensitas investigasi.

Arahkan kursor ke nama insurer untuk menyorot di tabel →

Shriram Life memiliki β_implied tertinggi (6.89) — threshold investigasinya sangat tajam, meski rata-rata klaimnya kecil (₹0.032 Cr). Konsekuensinya, gap mereka mencapai −12.3%.

Menariknya, HDFC Life bukan yang gap terbesarnya, tapi Investigation Intensity-nya tertinggi — karena rata-rata klaimnya jauh lebih besar. Gap −10% × avg_X yang lebih besar = produk yang lebih besar.

Di ujung lain spektrum, Aegon dan Aviva memiliki β terendah (0.12 dan 0.20). Mereka melakukan underwriting ketat di awal sehingga pada saat klaim, perilaku pembayaran relatif konsisten terhadap nilai klaim.

ICICI Pru dan Canara HSBC adalah contoh insurer besar dengan β sedang — mereka punya klaim rata-rata besar tapi transisi investigasinya gradual.

β_implied per insurer (asumsi CV = 1.5)

Insurer	Gap	avg_X (Cr)	β_impl

Bagian 05 · Investigation Intensity

−Gap × E[X]: Metrik Perilaku Baru

Gap saja tidak cukup untuk membandingkan insurer. Dua insurer dengan gap yang sama bisa memiliki intensitas investigasi yang sangat berbeda jika ukuran klaim rata-ratanya berbeda.

Dari identitas inti: \(\operatorname{Cov}(X,\,p(X)) = \text{Gap} \times \mathbb{E}[X]\). Nilai \(-\operatorname{Cov}(X,\,p(X)) = -\text{Gap} \times \mathbb{E}[X]\) mengukur kekuatan hubungan negatif antara nilai klaim dan probabilitas pembayaran.

Ambil contoh HDFC Life vs Shriram. Shriram punya gap lebih besar (−12.3% vs −10%), tapi HDFC punya Investigation Intensity lebih tinggi karena avg_X-nya 2× lipat lebih besar.

Berbeda pula dengan Aegon: meski gap-nya sangat kecil (−1.45%), avg_X-nya sangat besar (0.22 Cr), sehingga Investigation Intensity-nya tidak bisa diabaikan.

Interpretasi hati-hati: Investigation Intensity yang tinggi dapat berasal dari (a) kebijakan investigasi yang lebih ketat, (b) portofolio dengan dispersi severity lebih tinggi, atau (c) kombinasi keduanya. Untuk membedakannya dibutuhkan data klaim individual.

Investigation Intensity \(= -\text{Gap} \times \bar{X}\)

Bagian 06 · Tren Tahun ke Tahun

Gap Bertahan Lintas COVID-19

Satu pertanyaan penting: apakah gap ini hanya muncul dalam kondisi pasar normal? Data IRDAI menjawabnya — gap negatif muncul di semua 5 tahun, termasuk FY 2020-21 yang merupakan puncak pandemi.

Justru di tahun COVID, mean gap mencapai −6.35% — terbesar dalam 5 tahun. Lonjakan klaim kematian besar kemungkinan memicu investigasi lebih ketat, memperlebar gap. Penyempitan pada FY 2021-22 (−3.98%) mencerminkan normalisasi portofolio pasca-pandemi.

Mean Gap per Tahun Fiskal (rata-rata 24 insurer)

FY17-18: −5.58% FY18-19: −5.13% FY19-20: −5.82% FY20-21 (COVID): −6.35% FY21-22: −3.98%

Mengapa Severity GapHarus Ada Secara Matematis